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106 Chapitre 5 – Exercices trait´es avec la HP40

− e) b

et c

sont premiers entre eux.

Ici, la calculatrice n’est l`a que pour faire des essais pour

diﬀ´erentes valeurs de n...

Pour montrer que c

et b

sont premiers entre eux il suﬃt

de remarquer que :

= b

Ainsi, les diviseurs communs `a c

et b

sont les diviseurs

communs `a b

et 2 et sont aussi, les diviseurs communs

`a c

et 2. b

et 2 sont premiers entre eux car b

est un

nombre premier diﬀ´erent de 2. Donc

PGCD(c

)=PGCD(c

, 2) = PGCD(b

, 2) = 1

2. On consid`ere l’´equation :

· x + c

· y =1

− a) Il y a au moins une solution car il s’agit de l’identit´ede

B´ezout.

En eﬀet, le th´eor`eme de B´ezout dit :

Si a et b sont premiers entre eux, il existe x et y v´eriﬁant :

a · x + b · y =1

Donc, l’´equation :

· x + c

· y =1

a au moins une solution.

− b) On tape :

IEGCD(B(3), C(3))

On obtient :

1000 AND − 999 = 1

ce qui veut dire que l’on a :

× 1000 + c

× (−999) = 1

on a donc une solution particuli`ere :

x = 1000,y= −999.

A la main, on ´ecrit :

= b

+2etb

= 999 × 2+1

donc, b

= 999 × (c

− b

) + 1 ainsi :

× 1000 + c

× (−999) = 1

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